已知1<=X^2+Y^2<=2,求X^2+XY+Y^2的最值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 17:42:08
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1<=X^2+Y^2<=2,则-2<=-(X^2+Y^2)<=-1,
2XY<=X^2+Y^2<=2，XY<=1,
-2XY<=X^2+Y^2,2XY>=-(X^2+Y^2)>=-2,XY>=-1,
从而-1<=XY<=1,
1+(-1)<=X^2+XY+Y^2<=2+1
0<=X^2+XY+Y^2<=3

令x=rcosθ，y=rsinθ,则1≤r^2≤2，由于x^2+xy+y^2=r^2(1+sinθcosθ)=r^2(1+1/2*sin2θ),则有1/2≤1/2*r^2≤r^2(1+1/2*sin2θ)≤3/2*r^2≤3/2,即x^2+xy+y^2得最值为：最小1/2,最大3/2。